چرا حساب و کتاب با اعداد کسری سخت است؟

همه ما در دوران مدرسه بنحوی با اعداد کسری مشکل داشته‌ایم. پژوهشها نشان میدهد عملکرد دانش‌‌آموزان کلاس ۸ آمریکایی در حساب و کتاب با اعداد کسری بهتر از نتیجه افرادی که در یک آزمون تستی به سوالات بصورت اتفاقی پاسخ می‌دهند نیست! حتی دانش‌آموزان کلاسهای بالاتر هم عملکرد چندان بهتری ندارند. بعلاوه بیشتر معلمان هم که حساب و کتاب با اعداد کسری را خوب بلند، اعتراف می‌کنند نمی‌توانند آن را بخوبی به دانش‌آموزان منتقل کنند مثلا بیشترشان نمی‌توانند بگویند چرا باید در جمع و تفریق دو عدد کسری از کوچکترین مخرج مشترک را استفاده کنیم.

چرا بیشتر مردم در حساب و کتاب با اعداد کسری مشکل دارند؟

روبرت سیگلر – روان‌شناس –  و همکارانش برای پی بردن به این مسئله دست به پژوهش زده‌اند. آنها در این پژوهش علاوه بر اعداد کسری به شکل A/B  اعداد اعشاری و درصدی را نیز مدنظر قرار داده‌اند. زیرا هرچند اعداد کسری به شکل A/B برای بیشتر افراد از همه مشکلتر است ولیکن بسیاری از افراد با اعداد اعشاری و درصدی هم مشکل دارند مثلا بیشتر افراد معنای جمله ” او ۱۱۰% عملکردش را بهبود بخشیده” را بدرستی درک نمی‌کنند.

از آنجائیکه اعداد نسبتی پیچیده‌تر از اعداد صحیح هستند، کار کردن با آنها نیز مشکتر است. جالب است بدانید این مشکل جهانی است و تنها برای دانش‌آموزان  آمریکایی مشکل بحساب نمی‌آید. پژوهش‌هایی که از مناطق مختلف جهان علی‌الخصوص دانش‌آموزان شرق آسیا – که در ریاضیات سرآمد هستند – انجام شده، نشان می‌دهد این دانش‌آموزان نیز چنین مشکلی را دارند (هرچند نمی‌شود انکار کرد که این مشکل در دانش‌آموزان آمریکایی بارزتر است). این پژوهشگران معتقدند این مشکل دو علت دارد:

۱-درک معنای اعداد نسبتی سخت است

هر عدد صحیح یک نماد دارد (مثلا ۱,۲,۳,۳۷,۹۵۰ و …) در حالیکه اعداد نسبتی از خود نماد بخصوصی ندارند و اشکال خود را از اعداد صحیح به عاریت می‌گیرند. در ضمن همین نماد عاریتی هم یک عدد یگانه نیست مثلا ۲/۱ و ۰٫۵ و ۵۰% یک معنا دارند.

و کار جایی گیج‌کننده‌تر می‌شود که هر عدد نسبی را می‌توان به شکل بی‌نهایت کسر نیز نمایش داد مثلا ۲/۱=۴/۲=۸/۴=۱۶/۸=… و هرچند اعداد بزرگتر می‌شوند ولی اعتبار هنوز همان است.

۲-اعمال حساب و کتاب با اعداد نسبی پیچیده‌تر از اعداد صحیح است

روشهایی که دانش‌آموزان برای انجام اعمال جمع، تفریق، ضرب و تقسیم می‌آموزند بسیار ساده و سرراست هستند زیرا معمولا معلمان این اعمال اصلی را بوسیله اشیا به دانش‌آموزان می‌آموزند مثلا می‌گویند “۴ تا پرتغال داریم، حالا اگر ۳ تای دیگر به آن اضافه کنیم، حالا چند پرتغال داریم؟” و در این حین با اشیای واقعی نیز این عملیات را انجام می‌دهند. بهمین‌خاطر دانش‌آموزان در هنگام حساب و کتاب با اعداد نسبتی به مشکل می‌خورند. چرا هنگام جمع و تفریق کسرها باید مخرج مشترک پیدا کنیم اما در هنگام ضرب نباید اینکار را بکنیم؟ چرا باید در هنگام تقسیم اعداد کسری، جای صورت و مخرج کسر دوم را عوض کنیم و بعد آنها را در هم ضرب کنیم؟ نمی‌دانیم، فقط اینکار را انجام می‌دهیم. با چنین شناخت سطحی از اعداد کسری تعجبی هم ندارد که حساب و کتاب با آنها آنقدر گیج‌کننده باشد.

این دو علتی که گفتم علل جهانی این مشکل هستند اما این مسئله علل دیگری هم دارند که فرهنگی هستند و این تفاوتهای فرهنگی است که موجب تفاوت عملکرد دانش‌آموزان شرق آسیا با دانش‌آموزان اهل آمریکای شمالی می‌شود. از جمله این علل می‌توان به سه علت زیر اشاره کرد:

۱-دانش معلم

معلمان ریاضی در چین، ژاپن و کره در حساب و کتاب با اعداد کسری از دستورالعمل‌های بهتری استفاده می‌کنند. بعنوان مثال وقتی بپرسیم “عبارت  ۲/۱ ÷ ۴/۷ چه معنایی می‌دهد؟” بیشتر معلمان آمریکایی نمی‌توانند پاسخی بدهند اما معلمان چینی می‌توانند آن را توضیح دهند. وقتی خودتان چیزی را بدرستی نیاموخته‌اید تعجبی ندارد که نتوانید آن را بدرستی انتقال دهید.

۲-کیفیت کتاب درس

کتابهای درسی کره‌ای در زمینه آموزش اعداد کسری نسبت به کتاب‌های درسی آمریکایی تمرینات بیشتری دارد لذا طبیعتا دانش‌آموزان کره‌ای که سر و کله بیشتری با این اعداد زده‌اند نسبت به همسالان آمریکایی‌شان توانایی بهتری در محاسبات اعداد کسری داشته باشند.

۳-زبان

یادگیری اعداد چینی بسیار آسانتر از اعداد انگلیسی (مترجم: همچنین فارسی) است زیرا بر “دهدهی بودن” سیستم اعداد تاکید بسیاری دارد. در این سیستم اسامی بی‌قاعده‌ای همچون “دوازده، سیزده یا بیست” برای اعداد انتخاب نشده، در عوض در زبان چینی اعداد بعد از “ده” بدین شکل ادامه پیدا می‌کند؛ ده-یک، ده-دو، ده-سه، …، دو-ده (بجای بیست). بهمین خاطر کودکان چینی شمارش را بسیار زودتر از همتایان اروپایی و آمریکای شمالی می‌آموزند. همچنین در زبان چینی اعداد کسری نیز بسیار سرراست و درست خوانده می‌شوند مثلا ما عدد ۳/۱ را “یک سوم” می‌خوانیم درحالیکه چینی‌ها آن را ” یک از سه واحد” می‌خوانند، یعنی اسم این اعداد معنای آنها را شرح می‌دهد. کره و ژاپن مدتها پیش سیستم اعداد چینی را برگزیده‌اند و بهمین خاطر آنها نیز از از این لحاظ رشد کرده‌اند.

یکی از دلایلی که خیلی افراد “فوبیای ریاضیات” دارند این است که کاربرد ریاضیات در زندگی روزمره‌شان را نمی‌بینند. معمولا جبر سخت‌ترین درس ریاضی در دبیرستان است که در دانشگاه نیز تدریس می‌شود. خیلی‌ها از این درس خوششان نمی‌آید که البته منطقی نیز هست زیرا جبر در زندگی روزمره کاربردی ندارد.

تاجائیکه امروزه این بحث بین اندیشمندان درگرفته که آیا نیازی هست دانش‌آموزانی که در رشته‌های غیرمرتبط درس می‌خوانند جبر بیاموزند؟ آیا بهتر نیست بجای آن “آمار و احتمالات مقدماتی” را بیاموزند؟ زیرا مثلا یک دانش‌آموز هنر هیچ نیازی به حل کردن یک “چهارمعادله چهارمجهولی” ندارد اما قطعا در زندگی‌اش با آمار و احتمالات سروکار پیدا خواهد کرد.

در نهایت دوست دارم اشاره کنم؛ آمارها نشان می‌دهد ۸۲% کارمندان رده بالا، ۷۰% کارمندان رده متوسط و ۴۰% کارکنان بخش خدماتی بطور روزانه از اعداد نسبی استفاده می‌کنند، (حتی خود شما نیز الان با تفسیر این درصدها از اعداد نسبتی استفاده کردید) لذا اعداد کسری در زندگی ما کاربرد دارند پس بهتر است آنها را بهتر درک کنیم.

منابع:

Siegler, R. S., & Lortie-Forgues, H. (2017). Hard lessons: Why rational number arithmetic is so difficult for so many people. Current Directions in Psychological Science, 26, 346-351.

استاد روانشناسی کالج جورجیا گووینتل
منبع: PSYCHOLOGY TODAY
مترجم: حمید ابراهیمی زاده

مطالب مرتبط

دیدگاه بگذارید

avatar
  وارد شدن  
آگاه ساختن از
RSS
Follow by Email
Facebook
LinkedIn